Bastian Fiebig absolvierte eine Ausbildung bei Alfred Harth und Bobby Sattler und dem amerikanischen Jazzsaxophonisten Peter Ponzol. Außerdem hatte er klassischen Unterricht bei Klaus Kretschmarsky und Detlef Bensmann.
Fiebig ist Gründer des Saxophonquartetts „Vierfarben Saxophon“, in dem er bis 2006 Sopransaxophonist war und seit 2007 Altsaxophon spielt. Er hat seit 2007 eine eigene Improvisationstechnik für das Solospiel in großen Räumen entwickelt und zwei CDs mit Soloimprovisationen aufgenommen. Weitere Alben mit improvisierter Musik entstanden gemeinsam mit dem Pianisten Mathias Schabow sowie verschiedenen europäischen Duettpartnern. Zusammen mit dem Saxophonisten Stefan Weilmünster bildet Fiebig das Duett „Saxophon hoch zwei“ mit Schwerpunkt Neue Musik.
Seit 2022 arbeitet Fiebig gemeinsam mit dem Pianisten, Keyboarder und Produzenten Lothar Krell an einem Electro-Projekt namens „Fiebig & Krell“.
1993 gründete Fiebig gemeinsam mit dem Saxophonisten Oliver Gläser den Musikverlag „Chili Notes“ als Fachverlag für Saxophonmusik. Seit 2018 führt er den Verlag alleine.
Als Komponist schrieb Fiebig zahlreiche Theatermusiken für das Frankfurter Ensemble 9. November, die in Auszügen beim Musikverlag Chili Notes erschienen sind.